这篇文章主要是对基础公式的一个回顾和对比并加入了一点小想法，文中出现的公式都是所有理论力学和量子力学书上都有的最基础的公式，就不加参考文献了。

经典力学回顾

在经典力学中，有拉格朗日量

$$ \mathrm{ L(q_\mathit i, \dot q_\mathit i) = T - V}\ $$ 定义作用量为 $$ \mathrm{ S = \int L(q_\mathit i, \dot q_\mathit i, t) dt} $$ 通过变分$\delta \mathrm S = 0$可以得到拉格朗日方程 $$ \mathrm{\frac{\partial L}{\partial q_\mathit i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\mathit i}} = 0 $$ 微分拉格朗日量得 $$ \mathrm{ dL = \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_\mathit i \left( \frac{\partial L}{\partial q_\mathit i}dq_\mathit i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_\mathit i}d\dot q_\mathit i \right) } $$ 定义动量$\mathrm{p_\mathit i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_\mathit i}}$并代入拉格朗日方程后微分将变成 $$ \mathrm{ dL = \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_\mathit i\left( \dot p_\mathit idq_\mathit i + p_\mathit id\dot q_\mathit i \right) } $$ 并进行由勒让德变换得到哈密顿量 $$ \mathrm{ H = \sum_\mathit ip_\mathit i\dot q_\mathit i - L = T + V} $$ 现对其进行微分并代入$\mathrm{dL}$得到 $$ \mathrm{dH }= \mathrm{ \sum_\mathit i\left(\dot q_\mathit id p_\mathit i + p_\mathit id \dot q_\mathit i \right) - dL} \ = \mathrm{ \sum_\mathit i\left(\dot q_\mathit id p_\mathit i - \dot p_\mathit id q_\mathit i\right) -\frac{\partial L}{\partial t}} $$ 由此得 $$ \mathrm{ \dot q_\mathit i} =\mathrm{ \frac{\partial H}{\partial p_\mathit i}}\ \mathrm{ \dot p_\mathit i } =\mathrm{ -\frac{\partial H}{\partial q_\mathit i}}\ \mathrm{ \frac{\partial H}{\partial t}} =\mathrm{ -\frac{\partial L}{\partial t}} $$ 这就是正则方程，设现在有一力学量为$\mathrm{F(q_\mathit i, p_\mathit i)}$，则其对时间的全微分为 $$ \mathrm{ \frac{dF(q_\mathit i, p_\mathit i)}{dt} = \frac{\partial F(q_\mathit i, p_\mathit i)}{\partial t} + \sum_\mathit i\left( \frac{\partial F(q_\mathit i, p_\mathit i)}{\partial q_\mathit i} \dot q_\mathit i + \frac{\partial F(q_\mathit i, p_\mathit i)}{\partial p_\mathit i} \dot p_\mathit i \right)} $$ 现在将其中的$\mathrm{\dot q_\mathit i,\dot p_\mathit i }$用正则方程代换得 $$ \mathrm{ \frac{\partial F}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_\mathit i\left( \frac{\partial F}{\partial p_\mathit i} \frac{\partial H}{\partial q_\mathit i} - \frac{\partial F}{\partial q_\mathit i} \frac{\partial H}{\partial p_\mathit i} \right) } $$ 于是可以定义泊松括号 $$ \mathrm{\{A,B\} = \sum_\mathit i \left( \frac{\partial A}{\partial p_\mathit i}\frac{\partial B}{\partial q_\mathit i} - \frac{\partial A}{\partial q_\mathit i}\frac{\partial B}{\partial p_\mathit i} \right)} $$ 现在可以得到结论，在经典力学中不显含时的力学量$\mathrm F$守恒的条件为 $$ \mathrm{ \frac{\partial F}{\partial t} = \{H, F\} = 0 } $$ 到此，通过拉格朗日方程得到了经典力学中的对易关系

量子力学中的对易关系

从波动力学的薛定谔方程开始推导，薛定谔方程为 $$ \mathrm{ i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi(\mathbf r,t) = \hat H\Psi(\mathbf r,t) } $$ 现考虑力学量算符$\mathrm{\hat A}$平均值为 $$ \mathrm{ \bar A = \int\Psi^*\hat A\Psi d\mathbf r } $$

对其进行时间求导并将薛定谔方程代入可得

$$ \mathrm{ \dot{\bar A} = \frac{d\bar A}{dt} } =\mathrm{ \int \left(\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\hat A\Psi+ \Psi^*\frac{\partial \hat A}{\partial t}\Psi- \Psi^*\hat A\frac{\partial \Psi}{\partial t}\right)d\mathbf r } = \mathrm{ \int\left( \Psi^*\frac{\partial \hat A}{\partial t}\Psi+ \frac{\mathit i}{\hbar}(\hat H^* \Psi^*) \hat A\Psi- \frac{\mathit i}{\hbar}\Psi^*\hat A \hat H \Psi \right) d\mathbf r } $$

由H的厄米性可得 $$ \mathrm{ \dot{\bar A} = \int \left( \Psi^*\left(\frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{\mathit i}{\hbar}\hat H \hat A - \frac{\mathit i}{\hbar}\hat A \hat H\right)\Psi \right)d\mathbf r } $$

于是可以定义对易关系$\mathrm{[A,B] = AB - BA}$，得到算符对时间的导数为 $$ \mathrm{ \dot{\hat A} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{\mathit i}{\hbar}[\hat H, \hat A] } $$

在坐标表象中坐标与动量算符的对易关系可以很容易得到 $$ \mathrm{ [\mathbf{\hat x}, \mathbf{\hat p}] = \mathit{i}\hbar } $$ 如果我们将$\mathbf{\hat x}$对时间的求导用与$\mathrm{\hat H}$对易并代换$\mathbf{\hat p = \mathrm m\dot{\hat x}}$也可以得到上述对易关系

对比

将上面的推导做个总结

经典力学 量子力学
正则方程 $\mathrm {\dot q_\mathit i = \frac{\partial H}{\partial q_\mathit i }\dot ; \dot p_\mathit i = -\frac{\partial H}{\partial\dot p_\mathit i}}$ $\mathrm{[\hat x,\hat p] = \mathit i\hbar}$
对易关系 $\mathrm{\{A,B\} = \sum_\mathit i \left( \frac{\partial A}{\partial p_\mathit i}\frac{\partial B}{\partial q_\mathit i} - \frac{\partial A}{\partial q_\mathit i}\frac{\partial B}{\partial p_\mathit i} \right)}$ $\mathrm{[A, B] = AB - BA}$
时间导数 $\mathrm{ \dot A = \{H, A\} }$ $\mathrm{\dot{\hat A} = [\hat H, \hat A]}$

现在回头再来看经典和量子给出的正则关系实际意味着什么。经典力学中从拉格朗日方程出发，用函数求导的链式法则与正则方程得到了物理量对时间的导数并由此定义了一种运算。通过这种运算可以得到各种物理量的时间演化。

而在量子力学中通过对可测量的物理量平均求导并结合薛定谔方程得到了与经典相似的一种定义。数学上这叫李括号，而这种运算被实际上定义了一种李代数，即算符运算本质是一种李群和李代数的运算。

在场的量子化中找到对易关系就意味着对场完成了量子化，从数学角度上说就是找到物理量对应的李代数。而在不同表象下的态实际就是找到这个群的一种表示的表示空间。即态是一种流形，由它上的坐标变换得到的群对应的李代数也就是各种物理量满足对易关系。对易关系给出的是流形底空间的一种内禀性质，它给出了态应该去什么样的流形上找，而相互作用则给出了这个流形的形状。

再看经典力学，我们从拉格朗日方程出发得到定义在$\mathrm q_\mathit i \mathrm{p_\mathit i}$为底空间的相空间上的一种流形，正则方程给出了相空间的内禀性质，这样的流形在数学上就是辛流形，而势给出了流形的形状，对应于量子中的相互作用。