陈数

为了方便理解，用物理中最常见的磁场来类比说明

在实空间中每个点可以定义一个矢量空间，这样就定义了无数了线性空间。称这个实空间为底空间，而矢量空间对应的就是在实空间上长出的纤维。在每个矢量空间中取一个矢量，这样每个点对应一个矢量就得到了一个矢量场，称为纤维丛的截面

以电磁场为例，设有一矢势场$\mathrm A_\mathit \mu$，它的场强也就是曲率被定义为 $$ \mathrm{ F_{\mathit{\mu\nu}} = \partial_\mathit \mu A_\mathit \nu - \partial_\mathit \nu A_\mathit \mu } $$

在凝聚态中，我们也可定义一个类似的场量称为相位场，这里考虑二维情形，取布洛赫基矢$\ket{\mathrm{u_\mathit \lambda}}$可定义为 $$ \mathrm{ A_\mathit i = \braket{u_\lambda |\partial_\mathit iu_\lambda} } $$ 于是沿某路线相位的变化为 $$ \mathrm{ \theta = \int A_\mathit idk^\mathit i } $$ 由于在$\mathrm k$空间相位是连续变化而且具有周期性，因此在第一布里渊区内的波函数应满足周期条件，即波函数的相位在起点和对应的终点连成的线上变化为$\mathrm 0$或$\mathrm{2n\pi}$

$$ \mathrm{ \oint A_\mathit i dk^\mathit i = \iint_{FBZ} \Omega_{\mathit{i j}}dk^\mathit i \wedge dk^\mathit j = 2n\pi } $$

相位是空间内的连续变化场，由斯托克斯定理可知

$$ \mathrm{ \Omega_{\mathit{ij}} = \partial_\mathit i A_\mathit j - \partial_\mathit j A_\mathit i = \braket{\partial_\mathit i u_\lambda| \partial_\mathit j u_\lambda} } $$

可将其定义为场强，当场强在第一布里渊区内积分为零里则认为场平庸，面当场强的积分不为零里说明相位在第一布里渊区内有绕圈，具有同一绕圈数的场可通过连续变换相互转化，属于同伦类。在拓扑上等价，于是可以通过绕圈数$\mathrm n$区分不同的拓扑等价类，这个不变量就是我们所知的陈数。类比电磁场就可以说在第一布里渊区内出现$\mathrm n$单位的磁单极子

$\mathrm{Z_2}$拓扑数

上面的叙述省略了出现$\mathrm 2\pi$相位差的原因，其物理来源是波函数的时间反演对称性的破坏。但是对称性破坏在材料中要求必须有磁性，这很大程序上限制了拓扑材料的发展，自然界中磁性材料占比并不是很多。

还有一种体系，在整体上具有时间反演对称性，其中包含两个没有相互作用的相互间有时间反演对称的态，它们的陈数是互为反号而加和为零。这两个态由自旋不同的一对电子组成，这对电子每个都有不为零的拓扑数称为自旋陈数，可以用它来标识不同的拓扑等价类。数学上可以证明，自旋轨道耦合使得这些等价类中奇数和偶数分别是等价的，于是可以用$\mathrm 1$和$\mathrm 0$来区分这些等价类，这就是$\mathrm Z_2$拓扑数

磁性材料的拓扑

上面的推导都是针对$\mathrm k$空间的态矢相位的，而在磁性材料中也有拓扑相的出现通过自旋方向场来定义。用自旋在实空间中的分布来定义相似的场，然后通过求导定义。设原子格点中磁矢量场为$\mathbf{m}$可定义类似的拓扑数

$$ \mathrm{ Q = \frac{1}{4\pi}\int \mathbf m \cdot \left( \partial_x \mathbf m \times \partial_y\mathbf m \right) dxdy } $$

在传统理解中材料只有顺磁和逆磁两种属性，海森堡模型给出相邻两磁矢的的相互作用哈密顿量

$$ \mathrm{ \hat H = A_{ex}\mathbf S_\mathit i \cdot \mathbf S_\mathit j } $$

但在之后对材料的研究中发现，由于自旋轨道耦合作用的出现使哈密顿量中出现新的项

$$ \mathrm{ \hat H_{DMI} = D_{\mathit{ij} } \cdot (\mathbf S_\mathit i \times \mathbf S_\mathit j) } $$

这项的出现使自旋方向有相互垂直的趋势，和海森堡模型结合最终会使材料的自旋方向出现一定角度。连续的角度变化会出现最终会让自旋方向偏转，形成磁畴壁。不同的常数会使它们趋于形成不同各类的磁畴壁并让它们有不同的曲率。这样就出现了不同大小种类的斯格明子。它和共线的磁矢场无法通过连续形变转化，因此在温和条件下无法相互转化，这就是所谓拓扑保护，通过它们的同伦类可以区别不同的类型，也就是拓扑不变量。